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数量关系－如何备考不定方程问题（上）
在数量关系备考过程中，最为基础和必备的一大解题方法便是方程法，那么今天就为大家着重分析一下方程法中的难点——不定方程。
我们大家对方程是比较了解的，即含有未知数的等式如：3x+5=20；那么不定方程是什么呢？与方程有什么不同呢？如何进行解题呢？下面就为大家一一揭开它的神秘面纱。
不定方程是指方程中的未知数个数大于独立方程的个数如：x+y=2。独立方程是指方程与方程间不能够通过四则运算相互转化，比如：x+y=2①与2x+2y=4②，方程①×2=方程②，两个方程能够相互转化，所以两方程不独立，独立方程数量为1，而未知数x、y共两个，所以该例子是不定方程；再比如x+y=2①，x+3y=7②，这两个方程无法通过四则运算相互转换，那么这两个方程相互独立，即独立方程个数为2，未知数个数为2，该例子是普通方程。
普通方程和不定方程最本质的区别在于，普通方程能够解得唯一、确定的未知数，但是不定方程如果不考虑题目所给的限制条件，满足不定方程列式的未知数有无数个。
那么接下来就是我们要掌握的重点了，即不定方程具体如何进行求解。最为简单的求解方法就是代入排除法，其次是倍数法、尾数法及奇偶法，我们用几道题目来进行展示吧！
【例】小王、小李、小张、小赵和小周5人共为某希望小学捐赠了100个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小赵、小周（每人捐赠的书包个数互不相同）。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小赵和小周捐赠的书包数量之和。问小张最多捐赠了多少个书包？
A.17 B.18
C.19 D.20
【答案】A
【解析】第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，设五人分别捐赠了a、b、c、d、e个书包，由a=b+c、b=d+e得a+b+c+d+e=3b+2c=100，采用代入排除法从最大的选项开始依次代入，D选项：当c=20时，b=20，与互不相同矛盾，排除；B、C选项：当c=18或19时，b均无整数解，排除。
因此，选择A选项。
【例】某酒店老板过年给员工派红包，每个员工至少有一个红包，一共派出了63个红包。其中拿了一个红包的人数是拿了两个红包人数的2倍，同时还有一部分人拿了三个红包，那么该酒店最多有多少个员工？
A.61 B.46
C.31 D.16
【答案】B
【解析】第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，根据题意，设拿了两个红包的员工有x人，拿了一个红包的员工有2x人，拿了三个红包的员工有y人，可得到总人数为2x+x+y=3x+y人，想要让总人数最多，即让x尽可能大；又由于2x×1+x×2+y×3=63，解得4x+3y=63，因为3y和63均是3的倍数，所以4x也是3的倍数，即x是3的倍数，又因为4x≤63，得到x≤15.75，因为x为整数且为3的倍数，所以x最大取15，解得y=1，代入数据，得到总人数为3x+y=3×15+1=46人。
因此，选择B选项。
【例】小刘奉命采购机器零件，一种零件的单价是500元，另一种零件的单价是700元。这两种零件小刘都买了一些，且已知单价500元的零件数量占比不足50%。这次采购，小刘一共花了7100元，则他一共购买了（ ）件。
A.11 B.13
C.14 D.12
【答案】A
【解析】设买了500元零件x个，700元零件y个，则有500x+700y=7100，两边同事除以100得到5x+7y=71，要得到尾数为1，则可以是x为偶数，y取3，解得x=10，因为500元的零件数量占比不足50%，排除；另一种情况则x取奇数，y取8，解得x=3，满足条件“500元的零件数量占比不足50%”，因此一共购买了8+3=11件。故本题正确答案选A。
【例】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分配完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心剩下学员多少人？
A.36 B.37
C.39 D.41
【答案】D
【解析】设钢琴老师带x人，拉丁舞老师带y人，则有5x+6y=76，由于6y与76为偶数，根据奇偶性5x必为偶数，x必为偶数，且x为质数，可知x=2，因此y=11，则现在学员人数有2×4+11×3=41，D选项符合题意。A、B、C选项错误。故本题正确答案选D。
相信通过这几道题目大家对不定方程能有一定的了解和掌握。不定方程除了以上几种考查形式外，还有以不定方程组的形式来进行考查的，那么下一次，我们为大家分享不定方程的进阶考点，不定方程组。
最后，华图教育预祝各位考生考出理想的成绩，成功上岸!
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（编辑：sunmiaomiao）
