2015安徽教师招聘考试复习资料:数学二面角解题思路整合
2015-05-24 16:14 安徽教师招考网 来源：安徽教师招考网 
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二面角解题思路整合
张玉莉
教师招聘笔试考试中空间几何是必考内容。2014年安徽省教师统考中，空间几何不止在客观题出现，还在解答题中考察了立体图形的体积计算、面面垂直、线面角的知识。华图教师通过分析历年全国各地教师招聘考试大纲及考试题，发现求二面角是一大重点并是空间几何中的难点，涉及应用空间线线、线面、面面等相关知识点的应用。这里，华图教师团队通过积累多年教学经验，总结出一些二面角的解题思路，在这里与广大考生做一个分享。
二面角是由一条直线出发的两个半平面所组成的图形。二面角的平面角是以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角。当二面角的两个半平面重合时，二面角为0°，当两个半平面合成一个平面时，二面角为180°，二面角的大小范围为[0°,180°]。下面对二面角的具体求法进行分析：
一、定义法
直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图像的特征。
例题：如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°，求二面角S-AM-B。
分析：从二面角S-AM-B中半平面ABM上的已知点B向棱AM作垂线，得垂足F，在另一半平面ASM内过该垂足F作棱AM的垂线如GE，这两条垂线BF、GF便形成该二面角的一个平面角，再在平面内建立一个可解的三角形，借助三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
二、三垂线法
已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例题：如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。求二面角B-FC1-C的余弦值。
分析：过二面角B-FC1-C中半平面BFC上的已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O;再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB、垂线BO、射影OP)。再解直角三角形求二面角的度数。
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，此时，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
例题： PA⊥平面ABC，∠ABC=90°。其中PA=AB=1，PB=BC=2。E是PC的中点，DE⊥PC。求二面角C-BD-E的大小。
分析：由于E是PC的中点，且△PBC是等腰三角形，那么BD⊥PC。又DE⊥PC，可以推出：PC⊥平面BDE。所以：PC⊥BD。又PA⊥平面ABC，则BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC。可以得出：PAC平面是CBD平面和EBD平面的公共垂平面。由此，根据垂平面法知∠CDE即为所求二面角的平面角。
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