多次独立重复实验概率
一、问题提出
在概率统计中，我们常常会遇到这样的问题：将同一个试验重复进行n次，已知每次试验中事件A发生的概率均为p，需要求解这n次试验里事件A恰好发生k次的概率。下面我们就来详细推导其计算公式。二、过程推导
（一）确定事件A发生的次数组合
因为n次实验中要恰好发生k次事件A，但题目并没有明确指出具体哪k次发生了事件A。所以，在计算概率之前，我们首先要确定在n次实验里，到底哪k次发生了事件A。这相当于从n次试验中任选k次来让事件A发生，根据组合数的定义，这样的选法共有
种。（二）计算k次事件A发生的概率
由于每次试验中事件A发生的概率是相互独立的，且已知每次发生事件A的概率为p，那么连续k次事件A都发生的概率，根据独立事件概率的乘法原理（若事件
、
、…
相互独立，则它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积），这k次事件A发生的概率为
。（三）计算（
）次事件A不发生的概率
每次试验中，事件要么发生要么不发生，因为每次发生事件A的概率为p，所以根据概率的基本性质（事件发生的概率与不发生的概率之和为1），每次没有发生事件A的概率为（
）。
而n次试验中事件A恰好发生k次，那么没有发生事件A的次数就是（
）次。同样依据独立事件概率的乘法原理，这（
）次事件A都不发生的概率为
。（四）计算最终概率
要得到n次试验中事件A恰好发生k次的概率，我们需要考虑前面三步的情况：先选出哪k次发生事件A，然后这k次发生事件A，同时剩下的（
）次不发生事件A。根据分步乘法计数原理（完成一件事需要n个步骤，做第1步有
种不同的方法，做第2步有
种不同的方法…… 做第n步有
种不同的方法，那么完成这件事共有(N=
种不同的方法 ），将这三步的概率相乘，就可以得到：
将同一个试验重复进行n次，每次事件A发生的概率均为p时，这n次试验中事件A恰好发生k次的概率：
，其中k=1，2，3，…n。三、实操演练：
【例1】甲在某次比赛中有4次掷硬币机会，若掷出正面积两分，掷出反面扣一分，则甲最终积分不小于5的概率是：
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】第一步，本题考查概率问题。
第二步，分类讨论，不小于5分即大于等于5分，满足要求的情况如下：4次正面，得8分，其概率为
；3次正面，1次反面，得5分，其概率为
，则甲最终积分不小于5的概率是
。
因此，选择C选项。
【例2】运动员甲、乙在乒乓球比赛的决赛相遇，比赛采用7局4胜制。其中甲每局胜的概率为68.75%，前四局两人平手，问甲最终获得冠军的概率为：
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】第一步，本题考查分类分步型类概率问题。
第二步，根据题意有，68.75%=
，甲前四局胜2局，要获得冠军只要在后三局胜2局即可，有如下三种情况：①后三局中前两局胜：概率为
×
=
；②后三局中第三局胜，前两局中只胜出一局：概率为
。甲最终获胜的概率为：
因此，选择C选项。
【思维导图】
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（编辑：苗苗）
