2025安徽省考备考：数量关系中的容斥问题

2024-12-25 14:15 来源：安徽华图费一峰

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数量关系中的容斥问题

　　行测考试数量关系中的容斥问题是一类重要的计数问题，它涉及到多个集合的并集和交集的计算。这类问题在行测考试中经常出现，而且往往具有一定的难度。以下是对容斥问题的详细解析：

　　一、容斥问题的基本概念

　　容斥问题，又称包含与排斥原理，是一种在计数过程中避免重复计数的方法。当需要计算多个集合的并集元素个数，而这些集合之间存在交集时，直接相加会导致重复计数。容斥原理通过加减运算来排除重复计数的部分，从而得到准确的计数结果。

　　二、容斥问题的常见类型

　　1.二集合容斥问题：

　　涉及两个集合A和B。

　　需要计算的是A和B的并集元素个数，或者同时满足A和B条件的元素个数。

　　常见的公式为：总人数=A+B-A∩B+都不满足的情况（如果不存在都不满足的情况，则公式中不加此项）。

　　2.三集合容斥问题：

　　涉及三个集合A、B和C。

　　需要计算的是A、B和C的并集元素个数，或者同时满足A、B、C三个条件的元素个数。

　　三集合容斥问题又分为标准型和非标准型。

　　①标准型：给出了A∩B、B∩C、A∩C以及A∩B∩C的具体数据。

　　公式为：总人数-都不满足的情况=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C。

　　②非标准型：只给出了满足两个条件的数据（如A∩B、B∩C、A∩C），但没有给出A∩B∩C的具体数据。

　　公式为：总人数-都不满足的情况=A+B+C-满足两个条件的数据-2×A∩B∩C

　　三、容斥问题的解题技巧

　　1.识别容斥问题：

　　关注题目中是否出现“都…”、“都不…”等字眼，以及是否涉及多个集合的交集和并集。

　　2.确定集合和条件：

　　明确题目中的集合和条件，将问题转化为数学表达式。

　　3.应用容斥原理公式：

　　根据题目类型（二集合或三集合）和已知条件，选择合适的容斥原理公式进行计算。

　　4.画图辅助理解：

　　对于复杂的容斥问题，可以通过画图来辅助理解和计算。画图可以帮助清晰地展示集合之间的关系和交集部分。

　　5.注意特殊情况：

　　在处理三集合容斥问题时，要特别注意区分标准型和非标准型，并正确应用相应的公式。

　　四、示例解析

　　示例一（二集合容斥问题）：

　　【例1】某单位派60名运动员参加运动会，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？

　　A.14 B.15 C.16 D.17

　　解析：

　　设穿黑衣黑裤的有x人。

　　根据二集合计算公式：总人数=黑衣+黑裤-黑衣黑裤+白衣蓝裤，可得60=29+34-x+12。

　　解得x=15。

　　示例二（三集合容斥问题-标准型）：

　　【例2】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种？

　　A.16 B.18 C.20 D.22

　　解析：

　　本题考查容斥问题，属于三集合容斥类标准型。

　　设三种食品添加剂都不达标的为x种。

　　根据三集合容斥标准型公式：总人数-都不满足的情况=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，列出方程68+77+59-54-43-35+30+x=120。

　　解得x=18。

　　示例三（三集合容斥问题-非标准型）：

　　【例3】某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人，那么这次共发放了多少份问卷？

　　A.360 B.400 C.428 D.500

　　解析：

　　本题考查容斥问题，属于三集合容斥问题非标准题型。

　　根据公式：总数=A+B+C-满足两种情况的-2×满足三种条件，可知回收的问卷数=180+200+100-20-2×50=360份。