2025安徽省考行测数量关系备考之不定方程问题

2024-07-26 09:30 来源：安徽华图沈思超

不定方程问题

　　数量关系中，最基础最常用的解题方法是方程法。方程数大于等于未知数个数，可以通过使用移项、加减消元法、代入消元法等方法正常求解，这种方程我们称为定方程;未知数个数多于方程个数，不能通过一般的消元法直接得到唯一解，这种方程我们称为不定方程。今天我们来看一下不定方程怎么求解。

　　(一)题型特征

　　【示例】(2020广东)某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋( )个。

　　A.2 B.3

　　C.5 D.7

　　【解题思路】结合“共有153份相同的文件……每个文件袋都正好装满”我们可以知道，大文件袋装的文件和小文件袋装的文件之和为153，设需要大、小文件袋各x、y个，列方程24x+15y=153，化简得8x+5y=51，求的是x。文件袋个数一定是正整数，所以我们可以把选项代入到方程中，只要算出来y也为正整数即可。依次代入选项验证：A选项，当x=2时，y=7，符合题意。代入B、C、D选项均无法使y取到整数解，排除B、C、D。

　　因此，需要大文件袋2个。

　　(二)规律总结

　　通过上面这道题，我们能够发现，对于不定方程问题，我们可以通过代入排除的方法定位正确选项，当然，有些时候需要代入的次数比较多或者不适合代入选项，这时候就需要根据奇偶特性、倍数特性、尾数特性等数字特性缩小未知数的范围，再结合代入排除法求解。

　　(三)实战运用

　　【例1】(2020四川)某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃?

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　【解题思路】设甲、乙、丙三个品种分别购买了x、y、z盒，那么由题意有28x+32y+33z=400。3个未知数，一个方程，代入选项以后还有两个未知数，无法求出来具体值，这时候我们就可以利用数字特性缩小未知数的范围，由于盒数都是正整数且28x、32y、400都是4的倍数，那么33z必然是4的倍数，即z是4的倍数，只有B符合题意。

　　因此，选择B选项。

　　【例2】(2019内蒙古)某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖?

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　【解题思路】设获得一等奖的有x位选手、获得二等奖的有y位选手、获得三等奖的有z位选手。根据共10位选手总分为61分，可列不定方程组：x+y+z=10①，9x+5y+2z=61②，②-①×5可得：4x-3z=11。问该队最多有几位选手获得一等奖，最值代入，优先代入D选项，x=6，z无整数解，排除;代入C选项，x=5，z=3，y=2，满足题意。

　　因此，选择C选项。

　　当列得不定方程组时，如果求的是x、y或z的具体值，可以先通过加减消元，消去一个未知数，变成不定方程，再代入求解。