在正四棱台中，=2米，AB=4米，=米。则该正四棱台的体积为：A.B.C

2023-12-11 19:58 来源：华图公务员题库

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　　题型：单选题（分值：1）

　　在正四棱台 ${ABCD-{A_1B}_1C_1D}_1$ 中， ${A_1B}_1$ =2米，AB=4米， $A_1A$ = $2\sqrt{2}$ 米。则该正四棱台的体积为：

　　A. $\frac{29}{6}\sqrt{3}$

　　B. $\frac{29}{3}\sqrt{3}$

　　C. $\frac{28}{3}\sqrt{6}$

　　D. $\frac{28}{2}\sqrt{6}$

　　答案：C

　　解析：

　　第一步，本题考查几何问题，属于立体几何类。

　　第二步，过 $A_1$ 作 $A_1$ M⊥AC，垂足为M，可知 $A_1$ M= $O_1$ O为四棱台的高。

　　因为AB=4，根据等腰直角三角形的三边关系 $1:1：\sqrt{2}$ 可知则AO=2 $\sqrt{2}$ 。同理 $A_1O_1$ = $\sqrt{2}$ ，则AM= $\sqrt{2}$ 。根据勾股定理可知 $A_1$ M= $\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^2-\sqrt{2}^2}=\sqrt{6}$ 。即正四棱台的高为 $\sqrt{6}$ 。

　　第三步，解法一：根据四棱台的体积公式 $=\frac{1}{3}\left（S_上+S_下+\sqrt{S_上S_下}\right）$ h可得= $\frac{1}{3}（2^2+4^2+\sqrt{4\times 16}）\sqrt{6}$ = $\frac{28}{3}\sqrt{6}$ 。

　　解法二：将正四棱台补充成为正四棱锥，以ABCD为底面的正四棱锥的体积－以 ${{A_1B}_1C_1D}_1$ 为底面的正四棱锥的体积，由于两个四棱锥相似，则对应的边长之比等于高之比，已知边长之比为2:4=1:2，则高之比也为1:2，可知以 ${{A_1B}_1C_1D}_1$ 为底面的正四棱锥的高与四棱台的高相等。其中 $A_1$ M= $O_1$ O= $\sqrt{6}$ ，则以 ${{A_1B}_1C_1D}_1$ 为底面的正四棱锥的高为 $\sqrt{6}$ ，以ABCD为底面的正四棱锥的高为 $2\sqrt{6}$ 。