小明将一个半径为cm的半圆形纸张折成一个圆锥体，并向圆锥体中放

2023-10-30 14:18 来源：华图国考题库

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　　题型：单选题（分值：1）

　　小明将一个半径为 $6\sqrt{3}$ cm的半圆形纸张折成一个圆锥体，并向圆锥体中放入一个木制小球，该小球不能超出圆锥体的边缘，那么小明放入小球的最大体积是多少立方厘米？（不考虑纸张连接处和缝隙以及纸张的厚度）

　　A.20 $\pi$

　　B.25 $\pi$

　　C.30 $\pi$

　　D.36 $\pi$

　　答案：D

　　解析：

　　第一步，本题考查立体几何问题。

　　第二步，放入的小球和圆锥体相切时小球的体积最大，此时沿着圆锥体和球体的中心作切面，截面如下图所示，点O是小球的球心，D、E分别是小球与圆锥体的切点。根据半圆形的半径为 $6\sqrt{3}$ cm，可得半圆形的周长为 $\frac{1}{2}\times 2\pi \times 6\sqrt{3}=6\sqrt{3}\pi$ ，因此圆锥体的底面圆形的周长为 $2\pi r =6\sqrt{3}\pi$ ，解得r= $3\sqrt{3}$ ，因此圆锥体的底面圆的半径为 $3\sqrt{3}$ 。在直角?AEC中，AC= $6\sqrt{3}$ ，EC= $3\sqrt{3}$ ，根据三角函数可知∠EAC=30°，因此AE=9。

　　第三步，由?ADO∽?AEC，得到 $\frac{OD}{EC}=\frac{AO}{AC}$ ，假设小球的半径为R，代入数据可得 $\frac{R}{3\sqrt{3}}=\frac{9-R}{6\sqrt{3}}$ ，解得R=3，因此小球的体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times 3^3=36\pi$ 。