如图所示，点O为圆心，三角形ABC为圆的内接三角形，连接OA，已知

2023-08-23 22:52 来源：华图国考题库

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　　题型：单选题（分值：1）

　　如图所示，点O为圆心，三角形ABC为圆的内接三角形，连接OA，已知∠ACB=30°，AC= $2\sqrt{3}$ 厘米，问阴影部分与条纹部分的面积之差为多少平方厘米？

　　A. $\frac{\pi }{3}$

　　B. $\frac{3\pi }{5}$

　　C. $\frac{2\pi }{3}$

　　D. $\frac{\pi }{6}$

　　答案：C

　　解析：

　　第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类。

　　第二步，因为三角形ABC的BC边过圆心O，根据内接三角形性质，三角形ABC为直角三角形且∠BAC=90°。因为∠ACB=30°，根据特殊直角三角形性质，AB:AC:BC=1: $\sqrt{3}$ :2，已知AC== $2\sqrt{3}$ 厘米，求得BC=4厘米。所以圆O的直径为4厘米，半径为2厘米。∠ACB=30°，∠BAC=90°推出∠ABC=60°。又因为OA=OB，可得∠AOB=60°，∠AOC=180° $-$ 60°=120°。

　　第三步，阴影部分的面积= ${S}_{扇形AOC}-{S}_{?AOC}$ ，条纹部分的面积= ${S}_{扇形AOB}-{S}_{?AOB}$ 。根据扇形面积公式 ${S}_{扇形}=\frac {n} {36{0}^{\circ }}\pi {r}^{2}$ ，代入数据∠AOC=120°，∠AOB=60°，r=2，得阴影部分的面积= $\frac {12{0}^{\circ }} {36{0}^{\circ }}\times \pi \times {2}^{2}-{S}_{?AOC}$ ，条纹部分的面积= $\frac {6{0}^{\circ }} {36{0}^{\circ }}\times \pi \times {2}^{2}-{S}_{?AOB}$ 。由A点向BC线作垂线得AD，则 ${S}_{?AOC}=\frac {1} {2}\times$ OC $\times$ AD， ${S}_{?AOB}=\frac {1} {2}\times$ BO $\times$ AD，因 $BO = CO = r$ ，可以得出 ${S}_{?AOC}{=S}_{?AOB}$ 。所以阴影部分与条纹部分的面积之差为： $\frac {12{0}^{\circ }} {36{0}^{\circ }}\times \pi \times {2}^{2}-\frac {6{0}^{\circ }} {36{0}^{\circ }}\times \pi \times {2}^{2}$ = $\frac {1} {6}\times \pi \times$ 4= $\frac{2\pi }{3}$ （平方厘米）。