有一个直角三角形纸片ABC如图所示，∠C=30°，E、F均为三等分点

2023-07-18 10:09 来源：华图国考题库

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　　题型：单选题（分值：1）

　　有一个直角三角形纸片ABC如图所示，∠C=30°，E、F均为三等分点，现沿着EF将三角形对折，使三角形AEF所在面与梯形EBCF所在面垂直，一只蚂蚁沿直线BC从B点爬行到C点，在此过程中，蚂蚁离A点最近的距离与最远距离之比为：

　　A.1∶2

　　B.2∶3

　　C. $\sqrt{15}: 4 \sqrt{6}$

　　D. $\sqrt{15}: \sqrt{37}$

　　答案：C

　　解析：

　　第一步，本题考查几何问题。

　　第二步，根据题意，如图所示做辅助线，过A点做EF的垂线与EF相交于K点，过K点做BC的垂线与BC相交与H点，过E点做BC的垂线与BC相较于G点，连接AH、AC、CK，则蚂蚁在爬行过程中，离A点最近的距离为AH，最远的距离为AC。

　　第三步，由于三角形ABC为直角三角形，且∠C=30°，赋AB长度为30，则BC=60，AE=10，BE=20，∠B=∠AEF=60°，则AK= $5 \sqrt{3}$ ，EK=GH=5，EG=KH= $10 \sqrt{3}$ ，BG=10，BH=15，HC=60－15=45，根据勾股定理，可得 $\mathrm{AH}=\sqrt{A K^{2}+K H^{2}}=5 \sqrt{15}$ ， $\mathrm{KC}=\sqrt{K H^{2}+H C^{2}}=5 \sqrt{93}$ ，则 $\mathrm{AC}=\sqrt{A K^{2}+K C^{2}}=20 \sqrt{6}$ ，故最近距离与最远距离之比为 $5 \sqrt{15}: 20 \sqrt{6}=\sqrt{15}: 4 \sqrt{6}$ 。