某小区整体地块如下图所示，为一个直角梯形ABCD，其中AB∶AD∶CD

2023-07-14 21:04 来源：华图国考题库

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　　题型：单选题（分值：1）

　　某小区整体地块如下图所示，为一个直角梯形ABCD，其中AB∶AD∶CD=8∶4∶11。现要在小区内修一条便民路，这条路从小区东北角的门口B点开始，通往在南墙CD上的南门F点，并要使得这条路划分的两个区域梯形ABFD和三角形BCF的面积相等。问小区两个区域的周长之比为多少？

　　A.1∶1

　　B.4∶5

　　C.（27+ $\sqrt{233}$ ）∶（29+ $\sqrt{233}$ ）

　　D.（2 $\sqrt{2}$ +17）∶（2 $\sqrt{6}$ +19）

　　答案：C

　　解析：

　　第一步，本题考查几何问题。

　　第二步，由“AB∶AD∶CD的长度之比为8∶4∶11”可以直接赋值AB的长度为8，AD的长度为4，CD的长度为11。根据梯形面积计算公式： $\frac{上底 + 下底}{2} \times 高$ ，可知梯形ABCD的面积为 $\frac{8 + 11}{2} \times 4$ =38，由于梯形ABFD和三角形BCF的面积相等，各占梯形ABCD的一半，因此三角形BCF的面积为38÷2=19。根据三角形面积公式： $\frac{底 \times 高}{2}$ ，可知CF×AD÷2=19，即CF=9.5，即FD=CD-CF=11-9.5=1.5。

　　第三步，过B作CD的垂线BO交CD于点O，则AB=DO=8，CO=CD-AB=3，FO=DO-DF=6.5。在三角形BOC中，可以根据勾股定理求BC的长度：BC= $\sqrt{3^2 + 4^2}$ =5；在三角形BOF中，可以根据勾股定理求BF的长度：BF= $\sqrt{4^2 + {6.5}^2} = \frac{\sqrt{233}}{2}$ 。则梯形ABFD的周长为AB+BF+DF+AD=8+ $\frac{\sqrt{233}}{2}$ +1.5+4= $\frac{27 + \sqrt{233}}{2}$ ；三角形BCF的周长为BC+CF+BF=5+9.5+ $\frac{\sqrt{233}}{2}$ = $\frac{29 + \sqrt{233}}{2}$ 。则两块区域的周长之比是（27+ $\sqrt{233}$ ）∶（29+ $\sqrt{233}$ ）。