2018国家公务员考试备考之容斥问题
2017-06-07 10:26 国家公务员考试网 来源：安徽华图
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国考备考之容斥问题
华图教育 陆安
容斥问题是国考常考题型之一，14,15,16三年国考都涉及到此类题型，因此在后面的备考中大家要重点掌握。其实容斥问题是我们高中所学的集合问题，依据集合多少我们又可以细分为两集合和三集合容斥问题。接下来老师带领大家一起揭开其神秘面纱。
一、两集合容斥问题
两集合容斥问题根据能否直接套用公式，又可以细分为标准型(直接套公式)和非标准型(不能直接套公式)。
(一)标准型
两集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。对于两集合的容斥问题，如果能用公式我们直接套公式。
解题技巧：两集合容斥问题关键是匹配题型，这也是很多同学头疼的地方。如果出现了两者都或者两者都不，就考虑两集合的容斥问题;如果两者都，两者都不同时出现，则往往能直接套公式(满足标准型)。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、 数学两科竞赛的有多少人( )
A.28人 B.26人
C.24人 D.22人
【答案】D
【解析】题干中出现了同时参加两科竞赛，即出现了两者都，又出现了两科都没有参加，即出现了两者都不，综合考虑满足两集合标准型公式。参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，都未参加20人，总人数60人，设两个竞赛都参加的有x人，参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加，30+32-x=60-20，x=22。选择D。
两集合标准型题型特征非常明显，难度不大。为了增加难度，有时题目特征不明显，这就需要我们发现特征，解决问题。
【例2】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了( )
A.16天 B.20天
C.22天 D.24天
【答案】A
【解析】此题咋一看，没有出现两者都，两者都不这样的字眼，不符合两集合容斥问题的特征。但细想此题出现了上午待在旅馆，下午待在旅馆，即出现了满足条件A,B，想到容斥问题。同时题干中出现了不下雨，有不下雨自然就有下雨，下雨其实就是上下午都在旅馆，即出现了两者都，从而判断出是两集合的容斥问题。设这个人在北京共待了x天，其中12天不下雨，那么x-12天下雨，即两者都的为x-12，分析题意知道每天至少有半天待在旅馆，所以不存在上下午都不在旅馆的情况，即两者都不为0。依据公式“上午待在旅馆的天数+下午待在旅馆的天数-上下午都待在旅馆的天数=总天数-上下午都不待在旅馆的天数”代入公式：8+12-(x-12)=x-0，解得x=16。选择A。
此题即是特征不明显的两集合容斥问题，需要我们去思考判断，难度较大，这可能是以后两集合标准型的考试趋势。
(二)非标准型
非标准型，即不能直接套公式，我们可以采用画图的方法解决，这是我们解决容斥问题通用的方法(我们的公式也是通过画图推导出来的)。两集合非标准型难度适中，因此考察两集合，常考非标准型。
【例3】工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的( )
A.20% B.30%
C.40% D.50%
【答案】C
【解析】首先匹配题型，题干中出现了两天的活动都报名参加，即出现两者都，考虑两集合容斥问题，分析题意得出不能直接套用标准型公式，故是非标准型，采用画图法解决。因为出现了两者都，在画图时，两集合需要相交，这是特别需要注意的。设周六周日都参加活动的人数为x，则其他部分可以用下面的图形表示：
所以参加活动的人数为8x，进而得到总人数为8x÷80%=10x，未报名参加活动的人数为2x，占只参加周六活动的比例为2x÷5x=40%。选择C。
二、三集合容斥问题
类似于两集合容斥问题，三集合容斥问题也可以细分为标准型(直接套公式)和非标准型(不能直接套公式)。
(一)标准型
三集合容斥问题公式：
记忆技巧：三集合围成区域的大小等于三个集合加在一起，减去“两两重叠”部分，加上“三者重叠”部分。符号：“+”，“-”，“+”。
解题技巧：解决三集合容斥问题的关键也是匹配题型，如果出现了三者都或者三者都不，就考虑三集合的容斥问题。
【例4】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少( )
A.15 B.16
C.14 D.18
【答案】B
【解析】易判断此题为三集合的容斥问题(黑色部分为三者都)，发现所给条件严格匹配公式，因此是标准型，直接套用公式。
设阴影部分面积为x，由题意可得290=64+180+160-24-70-36+x，解得x=16。选择B。
(二)非标准型
标准型对条件要求比较苛刻，同时能直接套用公式，难度较低，所以现在倾向于考非标准型。这类题目非常灵活，也是考生感到头疼的地方。同样的，我们可以采用画图法解决。
解题技巧：充分利用已知条件，多加的部分减去，多加一次减一次，多加两次减两次。如果多减了，多减一次加一次，多减两次加两次。
【例5】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网站获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷( )
A.310 B.360
C.390 D.410
【答案】D
【解析】首先匹配题型，题干中出现了同时使用这三种方式，即出现三者都，考虑三集合容斥问题。发现不能直接套公式，采用画图法解决。因为出现了三者都，在画图时，需要出现三集合相交的部分。此题出现了满足条件A,B,C的数量，三者相加179+146+246，同时题干中出现了使用两种方式的人数(表示只使用两种方式)，使用三种方式的人数。刚才三集合相加的过程中，使用两种方式的人一共加了两次，多加了一次所以要减一次，减24。而使用三种方式的人一共加了三次，多加了两次所以要减两次，减2×115。所以“三集合围成的”=“总的”-“三者都不”。设总人数(回收的部分)为x，则179+146+246-24-2×115=x-52，得x=369。因为回收率为90%，故问卷数量为369÷90%=410
解决容斥问题关键是匹配题型，当我们判断出来是容斥问题，如果是标准型直接套公式，不是标准型画图解决。多加的部分减去，多减的部分加上。
以上是容斥问题常考的几种题型，希望对大家有所启发。希望大家在后面的学习中多练习，打磨。
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（编辑：图小乐）
